3.1413 \(\int (b d+2 c d x)^m \left (a+b x+c x^2\right )^2 \, dx\)

Optimal. Leaf size=103 \[ -\frac{\left (b^2-4 a c\right ) (b d+2 c d x)^{m+3}}{16 c^3 d^3 (m+3)}+\frac{\left (b^2-4 a c\right )^2 (b d+2 c d x)^{m+1}}{32 c^3 d (m+1)}+\frac{(b d+2 c d x)^{m+5}}{32 c^3 d^5 (m+5)} \]

[Out]

((b^2 - 4*a*c)^2*(b*d + 2*c*d*x)^(1 + m))/(32*c^3*d*(1 + m)) - ((b^2 - 4*a*c)*(b
*d + 2*c*d*x)^(3 + m))/(16*c^3*d^3*(3 + m)) + (b*d + 2*c*d*x)^(5 + m)/(32*c^3*d^
5*(5 + m))

_______________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.154083, antiderivative size = 103, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 2, number of rules used = 1, integrand size = 24, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.042 \[ -\frac{\left (b^2-4 a c\right ) (b d+2 c d x)^{m+3}}{16 c^3 d^3 (m+3)}+\frac{\left (b^2-4 a c\right )^2 (b d+2 c d x)^{m+1}}{32 c^3 d (m+1)}+\frac{(b d+2 c d x)^{m+5}}{32 c^3 d^5 (m+5)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Int[(b*d + 2*c*d*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^2,x]

[Out]

((b^2 - 4*a*c)^2*(b*d + 2*c*d*x)^(1 + m))/(32*c^3*d*(1 + m)) - ((b^2 - 4*a*c)*(b
*d + 2*c*d*x)^(3 + m))/(16*c^3*d^3*(3 + m)) + (b*d + 2*c*d*x)^(5 + m)/(32*c^3*d^
5*(5 + m))

_______________________________________________________________________________________

Rubi in Sympy [A]  time = 37.3788, size = 92, normalized size = 0.89 \[ \frac{\left (- 4 a c + b^{2}\right )^{2} \left (b d + 2 c d x\right )^{m + 1}}{32 c^{3} d \left (m + 1\right )} - \frac{\left (- 4 a c + b^{2}\right ) \left (b d + 2 c d x\right )^{m + 3}}{16 c^{3} d^{3} \left (m + 3\right )} + \frac{\left (b d + 2 c d x\right )^{m + 5}}{32 c^{3} d^{5} \left (m + 5\right )} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  rubi_integrate((2*c*d*x+b*d)**m*(c*x**2+b*x+a)**2,x)

[Out]

(-4*a*c + b**2)**2*(b*d + 2*c*d*x)**(m + 1)/(32*c**3*d*(m + 1)) - (-4*a*c + b**2
)*(b*d + 2*c*d*x)**(m + 3)/(16*c**3*d**3*(m + 3)) + (b*d + 2*c*d*x)**(m + 5)/(32
*c**3*d**5*(m + 5))

_______________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 0.153089, size = 150, normalized size = 1.46 \[ \frac{(b+2 c x) \left (2 c^2 \left (a^2 \left (m^2+8 m+15\right )+2 a c \left (m^2+6 m+5\right ) x^2+c^2 \left (m^2+4 m+3\right ) x^4\right )+2 b^2 c \left (c \left (m^2+3 m+2\right ) x^2-a (m+5)\right )+4 b c^2 (m+1) x \left (a (m+5)+c (m+3) x^2\right )+b^4-2 b^3 c (m+1) x\right ) (d (b+2 c x))^m}{4 c^3 (m+1) (m+3) (m+5)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Integrate[(b*d + 2*c*d*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^2,x]

[Out]

((b + 2*c*x)*(d*(b + 2*c*x))^m*(b^4 - 2*b^3*c*(1 + m)*x + 4*b*c^2*(1 + m)*x*(a*(
5 + m) + c*(3 + m)*x^2) + 2*b^2*c*(-(a*(5 + m)) + c*(2 + 3*m + m^2)*x^2) + 2*c^2
*(a^2*(15 + 8*m + m^2) + 2*a*c*(5 + 6*m + m^2)*x^2 + c^2*(3 + 4*m + m^2)*x^4)))/
(4*c^3*(1 + m)*(3 + m)*(5 + m))

_______________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.013, size = 255, normalized size = 2.5 \[{\frac{ \left ( 2\,{c}^{4}{m}^{2}{x}^{4}+4\,b{c}^{3}{m}^{2}{x}^{3}+8\,{c}^{4}m{x}^{4}+4\,a{c}^{3}{m}^{2}{x}^{2}+2\,{b}^{2}{c}^{2}{m}^{2}{x}^{2}+16\,b{c}^{3}m{x}^{3}+6\,{c}^{4}{x}^{4}+4\,ab{c}^{2}{m}^{2}x+24\,a{c}^{3}m{x}^{2}+6\,{b}^{2}{c}^{2}m{x}^{2}+12\,b{c}^{3}{x}^{3}+2\,{a}^{2}{c}^{2}{m}^{2}+24\,ab{c}^{2}mx+20\,{x}^{2}a{c}^{3}-2\,{b}^{3}cmx+4\,{x}^{2}{b}^{2}{c}^{2}+16\,{a}^{2}{c}^{2}m-2\,a{b}^{2}cm+20\,xab{c}^{2}-2\,{b}^{3}cx+30\,{a}^{2}{c}^{2}-10\,ac{b}^{2}+{b}^{4} \right ) \left ( 2\,cx+b \right ) \left ( 2\,cdx+bd \right ) ^{m}}{4\,{c}^{3} \left ({m}^{3}+9\,{m}^{2}+23\,m+15 \right ) }} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  int((2*c*d*x+b*d)^m*(c*x^2+b*x+a)^2,x)

[Out]

1/4*(2*c*x+b)*(2*c^4*m^2*x^4+4*b*c^3*m^2*x^3+8*c^4*m*x^4+4*a*c^3*m^2*x^2+2*b^2*c
^2*m^2*x^2+16*b*c^3*m*x^3+6*c^4*x^4+4*a*b*c^2*m^2*x+24*a*c^3*m*x^2+6*b^2*c^2*m*x
^2+12*b*c^3*x^3+2*a^2*c^2*m^2+24*a*b*c^2*m*x+20*a*c^3*x^2-2*b^3*c*m*x+4*b^2*c^2*
x^2+16*a^2*c^2*m-2*a*b^2*c*m+20*a*b*c^2*x-2*b^3*c*x+30*a^2*c^2-10*a*b^2*c+b^4)*(
2*c*d*x+b*d)^m/c^3/(m^3+9*m^2+23*m+15)

_______________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \text{Exception raised: ValueError} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((c*x^2 + b*x + a)^2*(2*c*d*x + b*d)^m,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

_______________________________________________________________________________________

Fricas [A]  time = 0.228092, size = 414, normalized size = 4.02 \[ \frac{{\left (2 \, a^{2} b c^{2} m^{2} + 4 \,{\left (c^{5} m^{2} + 4 \, c^{5} m + 3 \, c^{5}\right )} x^{5} + b^{5} - 10 \, a b^{3} c + 30 \, a^{2} b c^{2} + 10 \,{\left (b c^{4} m^{2} + 4 \, b c^{4} m + 3 \, b c^{4}\right )} x^{4} + 4 \,{\left (5 \, b^{2} c^{3} + 10 \, a c^{4} + 2 \,{\left (b^{2} c^{3} + a c^{4}\right )} m^{2} +{\left (7 \, b^{2} c^{3} + 12 \, a c^{4}\right )} m\right )} x^{3} + 2 \,{\left (30 \, a b c^{3} +{\left (b^{3} c^{2} + 6 \, a b c^{3}\right )} m^{2} +{\left (b^{3} c^{2} + 36 \, a b c^{3}\right )} m\right )} x^{2} - 2 \,{\left (a b^{3} c - 8 \, a^{2} b c^{2}\right )} m + 2 \,{\left (30 \, a^{2} c^{3} + 2 \,{\left (a b^{2} c^{2} + a^{2} c^{3}\right )} m^{2} -{\left (b^{4} c - 10 \, a b^{2} c^{2} - 16 \, a^{2} c^{3}\right )} m\right )} x\right )}{\left (2 \, c d x + b d\right )}^{m}}{4 \,{\left (c^{3} m^{3} + 9 \, c^{3} m^{2} + 23 \, c^{3} m + 15 \, c^{3}\right )}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((c*x^2 + b*x + a)^2*(2*c*d*x + b*d)^m,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/4*(2*a^2*b*c^2*m^2 + 4*(c^5*m^2 + 4*c^5*m + 3*c^5)*x^5 + b^5 - 10*a*b^3*c + 30
*a^2*b*c^2 + 10*(b*c^4*m^2 + 4*b*c^4*m + 3*b*c^4)*x^4 + 4*(5*b^2*c^3 + 10*a*c^4
+ 2*(b^2*c^3 + a*c^4)*m^2 + (7*b^2*c^3 + 12*a*c^4)*m)*x^3 + 2*(30*a*b*c^3 + (b^3
*c^2 + 6*a*b*c^3)*m^2 + (b^3*c^2 + 36*a*b*c^3)*m)*x^2 - 2*(a*b^3*c - 8*a^2*b*c^2
)*m + 2*(30*a^2*c^3 + 2*(a*b^2*c^2 + a^2*c^3)*m^2 - (b^4*c - 10*a*b^2*c^2 - 16*a
^2*c^3)*m)*x)*(2*c*d*x + b*d)^m/(c^3*m^3 + 9*c^3*m^2 + 23*c^3*m + 15*c^3)

_______________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 9.8105, size = 3198, normalized size = 31.05 \[ \text{result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((2*c*d*x+b*d)**m*(c*x**2+b*x+a)**2,x)

[Out]

Piecewise(((b*d)**m*(a**2*x + a*b*x**2 + b**2*x**3/3), Eq(c, 0)), (-16*a**2*c**2
/(128*b**4*c**3*d**5 + 1024*b**3*c**4*d**5*x + 3072*b**2*c**5*d**5*x**2 + 4096*b
*c**6*d**5*x**3 + 2048*c**7*d**5*x**4) - 8*a*b**2*c/(128*b**4*c**3*d**5 + 1024*b
**3*c**4*d**5*x + 3072*b**2*c**5*d**5*x**2 + 4096*b*c**6*d**5*x**3 + 2048*c**7*d
**5*x**4) - 64*a*b*c**2*x/(128*b**4*c**3*d**5 + 1024*b**3*c**4*d**5*x + 3072*b**
2*c**5*d**5*x**2 + 4096*b*c**6*d**5*x**3 + 2048*c**7*d**5*x**4) - 64*a*c**3*x**2
/(128*b**4*c**3*d**5 + 1024*b**3*c**4*d**5*x + 3072*b**2*c**5*d**5*x**2 + 4096*b
*c**6*d**5*x**3 + 2048*c**7*d**5*x**4) + 4*b**4*log(b/(2*c) + x)/(128*b**4*c**3*
d**5 + 1024*b**3*c**4*d**5*x + 3072*b**2*c**5*d**5*x**2 + 4096*b*c**6*d**5*x**3
+ 2048*c**7*d**5*x**4) + 3*b**4/(128*b**4*c**3*d**5 + 1024*b**3*c**4*d**5*x + 30
72*b**2*c**5*d**5*x**2 + 4096*b*c**6*d**5*x**3 + 2048*c**7*d**5*x**4) + 32*b**3*
c*x*log(b/(2*c) + x)/(128*b**4*c**3*d**5 + 1024*b**3*c**4*d**5*x + 3072*b**2*c**
5*d**5*x**2 + 4096*b*c**6*d**5*x**3 + 2048*c**7*d**5*x**4) + 16*b**3*c*x/(128*b*
*4*c**3*d**5 + 1024*b**3*c**4*d**5*x + 3072*b**2*c**5*d**5*x**2 + 4096*b*c**6*d*
*5*x**3 + 2048*c**7*d**5*x**4) + 96*b**2*c**2*x**2*log(b/(2*c) + x)/(128*b**4*c*
*3*d**5 + 1024*b**3*c**4*d**5*x + 3072*b**2*c**5*d**5*x**2 + 4096*b*c**6*d**5*x*
*3 + 2048*c**7*d**5*x**4) + 16*b**2*c**2*x**2/(128*b**4*c**3*d**5 + 1024*b**3*c*
*4*d**5*x + 3072*b**2*c**5*d**5*x**2 + 4096*b*c**6*d**5*x**3 + 2048*c**7*d**5*x*
*4) + 128*b*c**3*x**3*log(b/(2*c) + x)/(128*b**4*c**3*d**5 + 1024*b**3*c**4*d**5
*x + 3072*b**2*c**5*d**5*x**2 + 4096*b*c**6*d**5*x**3 + 2048*c**7*d**5*x**4) + 6
4*c**4*x**4*log(b/(2*c) + x)/(128*b**4*c**3*d**5 + 1024*b**3*c**4*d**5*x + 3072*
b**2*c**5*d**5*x**2 + 4096*b*c**6*d**5*x**3 + 2048*c**7*d**5*x**4), Eq(m, -5)),
(-8*a**2*c**2/(32*b**2*c**3*d**3 + 128*b*c**4*d**3*x + 128*c**5*d**3*x**2) + 8*a
*b**2*c*log(b/(2*c) + x)/(32*b**2*c**3*d**3 + 128*b*c**4*d**3*x + 128*c**5*d**3*
x**2) + 4*a*b**2*c/(32*b**2*c**3*d**3 + 128*b*c**4*d**3*x + 128*c**5*d**3*x**2)
+ 32*a*b*c**2*x*log(b/(2*c) + x)/(32*b**2*c**3*d**3 + 128*b*c**4*d**3*x + 128*c*
*5*d**3*x**2) + 32*a*c**3*x**2*log(b/(2*c) + x)/(32*b**2*c**3*d**3 + 128*b*c**4*
d**3*x + 128*c**5*d**3*x**2) - 2*b**4*log(b/(2*c) + x)/(32*b**2*c**3*d**3 + 128*
b*c**4*d**3*x + 128*c**5*d**3*x**2) - b**4/(32*b**2*c**3*d**3 + 128*b*c**4*d**3*
x + 128*c**5*d**3*x**2) - 8*b**3*c*x*log(b/(2*c) + x)/(32*b**2*c**3*d**3 + 128*b
*c**4*d**3*x + 128*c**5*d**3*x**2) - 8*b**2*c**2*x**2*log(b/(2*c) + x)/(32*b**2*
c**3*d**3 + 128*b*c**4*d**3*x + 128*c**5*d**3*x**2) + 8*b**2*c**2*x**2/(32*b**2*
c**3*d**3 + 128*b*c**4*d**3*x + 128*c**5*d**3*x**2) + 16*b*c**3*x**3/(32*b**2*c*
*3*d**3 + 128*b*c**4*d**3*x + 128*c**5*d**3*x**2) + 8*c**4*x**4/(32*b**2*c**3*d*
*3 + 128*b*c**4*d**3*x + 128*c**5*d**3*x**2), Eq(m, -3)), (a**2*log(b/(2*c) + x)
/(2*c*d) - a*b**2*log(b/(2*c) + x)/(4*c**2*d) + a*b*x/(2*c*d) + a*x**2/(2*d) + b
**4*log(b/(2*c) + x)/(32*c**3*d) - b**3*x/(16*c**2*d) + b**2*x**2/(16*c*d) + b*x
**3/(4*d) + c*x**4/(8*d), Eq(m, -1)), (2*a**2*b*c**2*m**2*(b*d + 2*c*d*x)**m/(4*
c**3*m**3 + 36*c**3*m**2 + 92*c**3*m + 60*c**3) + 16*a**2*b*c**2*m*(b*d + 2*c*d*
x)**m/(4*c**3*m**3 + 36*c**3*m**2 + 92*c**3*m + 60*c**3) + 30*a**2*b*c**2*(b*d +
2*c*d*x)**m/(4*c**3*m**3 + 36*c**3*m**2 + 92*c**3*m + 60*c**3) + 4*a**2*c**3*m*
*2*x*(b*d + 2*c*d*x)**m/(4*c**3*m**3 + 36*c**3*m**2 + 92*c**3*m + 60*c**3) + 32*
a**2*c**3*m*x*(b*d + 2*c*d*x)**m/(4*c**3*m**3 + 36*c**3*m**2 + 92*c**3*m + 60*c*
*3) + 60*a**2*c**3*x*(b*d + 2*c*d*x)**m/(4*c**3*m**3 + 36*c**3*m**2 + 92*c**3*m
+ 60*c**3) - 2*a*b**3*c*m*(b*d + 2*c*d*x)**m/(4*c**3*m**3 + 36*c**3*m**2 + 92*c*
*3*m + 60*c**3) - 10*a*b**3*c*(b*d + 2*c*d*x)**m/(4*c**3*m**3 + 36*c**3*m**2 + 9
2*c**3*m + 60*c**3) + 4*a*b**2*c**2*m**2*x*(b*d + 2*c*d*x)**m/(4*c**3*m**3 + 36*
c**3*m**2 + 92*c**3*m + 60*c**3) + 20*a*b**2*c**2*m*x*(b*d + 2*c*d*x)**m/(4*c**3
*m**3 + 36*c**3*m**2 + 92*c**3*m + 60*c**3) + 12*a*b*c**3*m**2*x**2*(b*d + 2*c*d
*x)**m/(4*c**3*m**3 + 36*c**3*m**2 + 92*c**3*m + 60*c**3) + 72*a*b*c**3*m*x**2*(
b*d + 2*c*d*x)**m/(4*c**3*m**3 + 36*c**3*m**2 + 92*c**3*m + 60*c**3) + 60*a*b*c*
*3*x**2*(b*d + 2*c*d*x)**m/(4*c**3*m**3 + 36*c**3*m**2 + 92*c**3*m + 60*c**3) +
8*a*c**4*m**2*x**3*(b*d + 2*c*d*x)**m/(4*c**3*m**3 + 36*c**3*m**2 + 92*c**3*m +
60*c**3) + 48*a*c**4*m*x**3*(b*d + 2*c*d*x)**m/(4*c**3*m**3 + 36*c**3*m**2 + 92*
c**3*m + 60*c**3) + 40*a*c**4*x**3*(b*d + 2*c*d*x)**m/(4*c**3*m**3 + 36*c**3*m**
2 + 92*c**3*m + 60*c**3) + b**5*(b*d + 2*c*d*x)**m/(4*c**3*m**3 + 36*c**3*m**2 +
92*c**3*m + 60*c**3) - 2*b**4*c*m*x*(b*d + 2*c*d*x)**m/(4*c**3*m**3 + 36*c**3*m
**2 + 92*c**3*m + 60*c**3) + 2*b**3*c**2*m**2*x**2*(b*d + 2*c*d*x)**m/(4*c**3*m*
*3 + 36*c**3*m**2 + 92*c**3*m + 60*c**3) + 2*b**3*c**2*m*x**2*(b*d + 2*c*d*x)**m
/(4*c**3*m**3 + 36*c**3*m**2 + 92*c**3*m + 60*c**3) + 8*b**2*c**3*m**2*x**3*(b*d
+ 2*c*d*x)**m/(4*c**3*m**3 + 36*c**3*m**2 + 92*c**3*m + 60*c**3) + 28*b**2*c**3
*m*x**3*(b*d + 2*c*d*x)**m/(4*c**3*m**3 + 36*c**3*m**2 + 92*c**3*m + 60*c**3) +
20*b**2*c**3*x**3*(b*d + 2*c*d*x)**m/(4*c**3*m**3 + 36*c**3*m**2 + 92*c**3*m + 6
0*c**3) + 10*b*c**4*m**2*x**4*(b*d + 2*c*d*x)**m/(4*c**3*m**3 + 36*c**3*m**2 + 9
2*c**3*m + 60*c**3) + 40*b*c**4*m*x**4*(b*d + 2*c*d*x)**m/(4*c**3*m**3 + 36*c**3
*m**2 + 92*c**3*m + 60*c**3) + 30*b*c**4*x**4*(b*d + 2*c*d*x)**m/(4*c**3*m**3 +
36*c**3*m**2 + 92*c**3*m + 60*c**3) + 4*c**5*m**2*x**5*(b*d + 2*c*d*x)**m/(4*c**
3*m**3 + 36*c**3*m**2 + 92*c**3*m + 60*c**3) + 16*c**5*m*x**5*(b*d + 2*c*d*x)**m
/(4*c**3*m**3 + 36*c**3*m**2 + 92*c**3*m + 60*c**3) + 12*c**5*x**5*(b*d + 2*c*d*
x)**m/(4*c**3*m**3 + 36*c**3*m**2 + 92*c**3*m + 60*c**3), True))

_______________________________________________________________________________________

GIAC/XCAS [A]  time = 0.220511, size = 957, normalized size = 9.29 \[ \text{result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((c*x^2 + b*x + a)^2*(2*c*d*x + b*d)^m,x, algorithm="giac")

[Out]

1/4*(4*c^5*m^2*x^5*e^(m*ln(2*c*d*x + b*d)) + 10*b*c^4*m^2*x^4*e^(m*ln(2*c*d*x +
b*d)) + 16*c^5*m*x^5*e^(m*ln(2*c*d*x + b*d)) + 8*b^2*c^3*m^2*x^3*e^(m*ln(2*c*d*x
+ b*d)) + 8*a*c^4*m^2*x^3*e^(m*ln(2*c*d*x + b*d)) + 40*b*c^4*m*x^4*e^(m*ln(2*c*
d*x + b*d)) + 12*c^5*x^5*e^(m*ln(2*c*d*x + b*d)) + 2*b^3*c^2*m^2*x^2*e^(m*ln(2*c
*d*x + b*d)) + 12*a*b*c^3*m^2*x^2*e^(m*ln(2*c*d*x + b*d)) + 28*b^2*c^3*m*x^3*e^(
m*ln(2*c*d*x + b*d)) + 48*a*c^4*m*x^3*e^(m*ln(2*c*d*x + b*d)) + 30*b*c^4*x^4*e^(
m*ln(2*c*d*x + b*d)) + 4*a*b^2*c^2*m^2*x*e^(m*ln(2*c*d*x + b*d)) + 4*a^2*c^3*m^2
*x*e^(m*ln(2*c*d*x + b*d)) + 2*b^3*c^2*m*x^2*e^(m*ln(2*c*d*x + b*d)) + 72*a*b*c^
3*m*x^2*e^(m*ln(2*c*d*x + b*d)) + 20*b^2*c^3*x^3*e^(m*ln(2*c*d*x + b*d)) + 40*a*
c^4*x^3*e^(m*ln(2*c*d*x + b*d)) + 2*a^2*b*c^2*m^2*e^(m*ln(2*c*d*x + b*d)) - 2*b^
4*c*m*x*e^(m*ln(2*c*d*x + b*d)) + 20*a*b^2*c^2*m*x*e^(m*ln(2*c*d*x + b*d)) + 32*
a^2*c^3*m*x*e^(m*ln(2*c*d*x + b*d)) + 60*a*b*c^3*x^2*e^(m*ln(2*c*d*x + b*d)) - 2
*a*b^3*c*m*e^(m*ln(2*c*d*x + b*d)) + 16*a^2*b*c^2*m*e^(m*ln(2*c*d*x + b*d)) + 60
*a^2*c^3*x*e^(m*ln(2*c*d*x + b*d)) + b^5*e^(m*ln(2*c*d*x + b*d)) - 10*a*b^3*c*e^
(m*ln(2*c*d*x + b*d)) + 30*a^2*b*c^2*e^(m*ln(2*c*d*x + b*d)))/(c^3*m^3 + 9*c^3*m
^2 + 23*c^3*m + 15*c^3)